과외왕이선생의 수학개념사전블로그

 7을 2로나누면 몫이 3이고 나머지가 1 입니다  나눗셈이 잘 되었는지를 검산하는 식을 검산식이라고 하는데요 아래와 같습니다  이렇게 나눗셈을 검증하는 검산식의 기능은 다항식의 나눗셈에서도 동일하게 사용이 가능합니다  이러한 나눗셈에 대한 검산식을 써보면 다음과 같습니다  위 등식의 우변을 전개해서 정리하면 좌변가 같아짐을 쉽게 확인할 수 있습니다  다항식의 나눗셈에 대한 등식을 세울 때, 나머지를 모르는 경우에는 나누는 식의 차수에 따라 나머지 를 다른 꼴로 놓아야 한다.  즉 나머지는 상수이거나 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 작아야 하므로  x에 대한 다항식을 x에 대한 이차식으로 나누었을 때의 나머지는 ax+b (a, b는 상수) 꼴로 놓고,  X에 대한 삼차식으로 나누었을 때의 나머지는 2차이하의 식의 꼴로 놓는다. 구조가 더 잘 보이도록 다시 써보면 아래와 같습니다 

(다항식) 과 (다항식)의 나눗셈 (다항식) 나누기 (다항식)은 먼저 주어진 다항식을 내림차순으로 정리한 후 자연수의 나눗셈과 같 은 방법으로 계산한다. 이 나눗셈을 다항식의 계수만 사용해서 할 수도 있습니다  자연수의 나눗셈에서 자릿수를 맞춰서 계산하듯이, 다항식의 나눗셈에서는 일단 다항식을 내림차순으로 정리합니다 그리고 차수를 맞춰서 계산해야 합니다.  이때 항이 없는 차수는 그 자리를 비워 두고 계산하고, 계수 만 이용하여 나누는 경우에는 그 자리에 반드시 ‘ㅇ’을 적고 계산해야 합니다. 그리고 자연수의 나눗셈에서 나머지가 나누는 수보다 작은것처럼 다항식의 나눗셈에서는 나머지가 상수이거 나 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 낮아야 합니다. 따라서 나머지가 상수가 되거나 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작을 때까지 나눗셈을 멈추지 않고 해야 합니다.  나눗셈은 이후 단원(항등식, 나머지정리)의 논리를 전개하는데 있어서 틀이 되어주는 중요한 역할을 하게 됩니다. 숫자의 나눗셈과 다른점이 거의 없기 때문에 어려움없이 이해하실수 있을거에요. 

 1. 지수법칙  중학교에서 (단항식) : (단항식)은 나누는 수의 역수를 곱하거나 다음 지수법칙을 이용하여 계산하였다. 2. 다항식의 나눗셈 (다항식) : (다항식)은 다음 순서대로 정리 합니다 (i) 각각의 다항식을 내림차순으로 정리합니다 (i) 차수를 맞추어 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산합니다 3. 다항식의 나눗셈에 대한 등식 다항식 A를 다항식 B(B+0)로 나눈 몫을 6, 나머지를 라 하면  A= BO+R (단, R는 상수 또는 (R의 차수)< (B의 차수)) 특히 R=0, 즉 A = BQ이면 A는 8로 나누어떨어진다.고 합니다 참고 2는 몫을 뜻하는 quotient의 첫 글자이고, R는 나머지를 뜻하는 remainder의 첫 글자 입니다 다항식의 나눗셈에 대한 이해 A 자연수의 나눗셈에서 자릿수를 맞추어 계산하듯 다항식의 나눗셈에서는 각 항의 차수를 맞추어 계산합니다 특히, 자연수의 나눗셈에서 나머지가 나누는 수보다 작듯이 다항식의 나눗셈 에서는 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작아야 합니다

 다항식의 곱셈이 특정한 모양일때, 곱셈 공식을 이용하면 편리합니다  완벽하게 외워질때까지 확실하게 연습하시기를 바랍니다  곱셈공식은 기본공식을 기초로 하여 다양한 형태의 변형문제가 출제 되므로  정확하게 외우셔야 합니다  곱셈공식이 고등학교에 올라와서 처음으로 만나는 ‘외워야하는 부분’일텐데요  이런것까지 외워야 할필요가 있나 하는 생각이 든다면 이렇게 생각해 보세요  우리가 이 내용들을 가지고 결국 시험을 보게 되는데  문제를 푸는 시간이 정해져 있다는 것이 중요합니다  정해진 시간안에 신속하고 정확하게 문제를 풀어야만 고득점이 가능하지요  하지만 여기서 이상한 부분이 하나 있습니다  ‘신속’하게 풀면 정확하기 어렵고  ‘정확’하게 풀면 신속하기 어려운게 자연스러운 이치 입니다  그래서 ‘신속’과 ‘정확’을 둘다 가지려고 ‘암기’를 하는 것입니다  ‘암기’를 할때는 너무 복잡하게 생각하지 않는것이 좋을때가 많이 있습니다  물론 ‘암기’하기에 앞서 이해를 하면 좋은점이 있지만,  보통은 이해가 쉽지 않아서 ‘암기’를 선택하는것이 대부분 입니다  이해가 가지 않아도 괜찮습니다  많이 쓰고 읽고 테스트 해보면서 외운다면 이후 문제를 풀면서 더욱 더 깊이  외워지는 것을 느낄수 있을거에요  ‘힘든’것은 ‘힘들게’얻어집니다  ‘힘든’것을 ‘쉽게’얻으려 하다보면 결국 문제가 생기게 됩니다  

  1. 지수법칙(1) 중학교에서 단항식끼리의 곱셈을 할 때, 다음 지수법칙을 이용하여 계산하였습니다 2. 다항식의 곱셈 다항식의 곱셈은 다음 순서대로 한다. (i) 지수법칙과 분배법칙을 이용하여 전개한다. (i) 각 항을 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다. 3. 다항식의 곱셈에 대한 성질 세 다항식 A, B, C에 대하여 다음이 성립한다. (1) 교환법칙 : AB= BA 수의 곱셈처럼 다항식의 곱셈도 순서를 바꾸어 곱하거나 (2) 결합법칙 : (AB)C= A(BC) 1 위지를 비꾸어 급할 수 있다. 참고 (4B)C, A(BC)를 괄호를 생략하여 A.BC로 나타내기도 한다. ③) 분배법칙 : A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+B 1. 다항식의 곱셈 B 다항식의 곱셈에서는 지수법칙과 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 하나의 다 항식으로 나타낸다. • 동류항끼리 모아서 간단히 한다. 이와 같이 다항식의 곱셈에서 괄호를 풀어 하나의 다항식으로 만드는 것을 '다항식을 전개한다고 하고, 전개하여 얻은 식을 전개식이라 한다. 2. 공통부분이 있는 다항식의 전개 공통부분이 있는 다항식을 전개할 때에는 다음과 같은 방법을 이용하면 계산 이 편리합니다 공통부분이 있는 경우 : 공통부분을 한 문자로 생각하여 치환한 후 전개 ( )( )( )( ) 꼴인 경우 : 공통부분이 생기도록 두 항씩 묶어서 전개 한 후(1)을 이용하여 전개 이때, 치환한 문자에 원래의 식을 대입하여 정리합니다

  1. - A와 kA의 계산 다항식 A와 실수 k에 대하여 - A와 KA를 다음과 같이 계산합니다 -A : A의 각 항의 부호를 바꿉니다 KA : A의 각 항에 실수 를 곱합니다 2. 다항식의 덧셈과 뺄셈 다항식의 덧셈과 뺄셈은 다음 순서대로 합니다 (i) 괄호가 있으면 괄호를 풉니다 (i) 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리합니다 (i) 각 항을 동류항끼리 모아서 간단히 정리합니다 3. 다항식의 덧셈에 대한 성질 수의 덧셈처럼 다항식의 덧셈도 순서를 바꾸어 더하거나 위치를 바꾸어 더할 수 있습니다 세 다항식 A, B, C에 대하여 다음이 성립합니다 교환법칙 : A+ B=B+A 결합법칙 : (A+ B) +C=A+(B+C) 참고 (A+B)+C, A+(B+C)를 괄호를 생략하여 A+ B +C로 나타내기도 한다. 학생들을 가르치다보면 교환법칙과 결합법칙의 구분이 어려운 경우가 많았습니다  교환법칙은 ‘한개’의 연산이 있습니다. ‘한개’의 연산을 기준으로 앞 뒤 두 숫자의 ‘위치’를 교환하여도 그 결과가 변하지 않을때  그것을 교환법칙이라고 말합니다. 덧셈은 교환법칙이 성립하지만 뺄셈은 성립하지 않아요. 곱셈은 교환법칙이 성립하지만 나눗셈은 성립하지 않습니다.  결합법칙은 연산이 두개 이상일때 그 ’우선순위‘에 관한 내용입니다. 짜장과 밥 그리고 짬뽕이 있다고 칩시다.  짜장과 밥을 비벼서 짜장밥을 먹고 짬뽕을 먹는경우와 짜장, 그리고 밥과 짬뽕을 말아서 짬뽕밥을 먹는 경우  이렇게 결합이 다르게 이루어 지는 경우에도 그 결과가 항상 같다면 짜장밥과 짬뽕을 먹어도  짜장과 짬뽕밥을 먹어도  그것이 동일한 행복을 느낄 수 있다면  그런 경우에는 결합법칙이 성립한다고 할 수 있습니다  중국집에 전화해서 확인해보시기를 바랍니다 ^^ 

  다항식은 문자의 종류가 많아지면 정리하기 힘들기 때문에 계산의 편리를 위해서 순서를 바꾸거나 동류끼리 모아서 간단히 나타내는데, 이를 '다항식을 정리한다.'고 한다. 1. 내림차순으로 정리 다항식을 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것을 말합니다 2. 오름차순으로 정리 다항식을 한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것을 말합니다  문자가 여러개인 식을 정리하여 인수분해를 하거나 근을 구할 때에는 한 문자를 중심으로 정리해야만 합니다  이때, 주인공에 해당하는 문자를 중심으로 같은 차수로 묶어야 하는 경우가 발생하는데  미리 내림차순으로 정리를 해둔다면 동류항을 모아둔다는 큰 장점이 있습니다 

고등학교수학의 최종목적은 ‘학생들에게 미분과 적분을 이해시키는 것’ 입니다  그렇게 하기 위해서는 복잡한 다항식을 가지고 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈 등의 사칙연산을 해야 합니다  영어를 생각해보면 고등학교에 올라와서 처음 느껴지는 것이 바로 ‘문장이 길어졌다’ 입니다  수학의 식도 똑같습니다 식이 길어집니다. 문자의 종류가 다양해 집니다. 그런데 그 문자마다 역할과 특성이 다르기도 합니다.  ‘특성’이라는 것은 ‘범위’를 말하는데, 문자에 특정한 범위가 주어지면 그것을 다루는 방식도 달라집니다.  이 모든 목적을 달성하기 위해서 ‘긴식’ ‘무언가 많은 식’인 다항식에 대해서 하나하나 공부해보도록 하겠습니다   단항식 : 수나 문자의 곱으로만 이루어진 식을 말합니다 다항식 : 단항식 또는 단항식의 합으로 이루어진 식을 말합니다 항 : 다항식을 이루고 있는 각각의 단항식을 말합니다        (1) 상수항 : 특정한 문자를 포함하지 않는 항을 말합니다                          특정한 문자만 변수로 보고 나머지 문자는 상수로 봅니다        (2) 동류항 : 특정한 문자에 대하여 차수가 같은 항 이때. '~에 대한 다항식'으로 표현합니다                          참고) 상수항은 모두 동류항으로 계산합니다.         4. 계수 : 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분         5. 차수 1)항의 차수 : 항에서 특정한 문자가 곱해진 개수 2)다항식...