고등수학개념사전 189일대일대응이란 무엇인가
1) 일대일대응의 정의
어떤 함수가 일대일함수이면서 동시에 치역이 공역과 같을때 이 함수를 일대일 대응이라 합니다
2) 일대일대응의 대응관계
그림1
그림1 에서 공역은{1,2,3,4} 입니다
그중에 화살표를 받은 원소들만 따로모아 만든 치역은 {1,2,4} 입니다
이렇게 일대일함수지만
그림2
2)일대일대응과 일대일함수의 포함관계
3)일대일대응의 그래프
이와같이 공역과 치역이 모두 같은 함수 이므로 일대일 대응이라고 할수 있습니다
이처럼 일대일대응은 일대일함수의 부분집합이고
일대일 함수중에는 일대일대응인것과 일대일대응이 아닌것이 있지만
일대일대응은 모두다 일대일 함수라고 할수 있습니다
먼저 일대일대응은 모두 일대일함수 이므로 일대일함수 그래프의 조건을 만족해야 합니다
일대일함수 그래프의 조건은 아래와 같이
어느높이에서 가로선을 그어도 오직 하나만 교점이 생겨야 한다는 것입니다
여기서 일대일함수이지만 일대일대응이 아닌 그래프를 그려보겠습니다
그에 앞서서 일대일함수이지만 일대일 대응이 아닌 대응관계를 다시한번 보겠습니다
이처럼 서로 하나씩 각각 대응하기만 하면 일대일 함수이지만 화살표를 받고있는 Y에 화살표를 받지 못하고 남아있는 원소가 있다면 공역와 치역이 달라지게 되므로 일대일 대응이 될 수 없습니다
다시말해서 일대일 함수 이면서 공역에 화살표를 받지 못하는 원소가 하나도 없는 상황
이렇게 되면 정의역의 원소갯수와 공역의 원소갯수는 같아질수 밖에 없습니다.
일대일대응은 공역와 치역이 같으므로 치역의 원소갯수는 따로 말할 필요가 없습니다.
대응관계에 있어서 일대일대응과 일대일함수는 구별하기 어렵지 않지만 정의역의 원소가 실수인 ‘선으로 나타나는 그래프’에서 둘을 구별하는것은 다소 다른 양상을 보입니다
이 그래프는 가로선을 그었을때 두개의 교점(노란색)이 생겨서 일대일함수가 될수 없었으므로 당연히 일대일대응이 될 수 없습니다.
그래프에서 치역은 함숫값들의 모임이므로 수많은 점들의 집합인 그래프가 존재하는 세로구간을 의미합니다
노란색으로 표시된 구간이 그래프에서의 치역입니다
고등수학개념사전 185정의역공역 그리고치역 에서 설명한 바와 같이
공역은 내맘대로 정하는 것이고 치역은 정의역과 함수식이 정해지면 계산의 결과값인 ‘함숫값’만을 모아 만든 집합입니다. 그러므로 함수그래프를 그리기 전에 내맘대로 결정한 공역이 실제로 계산한 결과들인 ‘치역’과 일치한다면 일대일 대응이 되고, 내 맘대로 정한 공역이 계산결과인 치역과 다르면(당연히 공역이 더 커야 합니다) 일대일대응이 될 수 없고 일대일 함수가 되는 것입니다.
위 그림에서 정의역(함수가 존재하는 가로구간)은 { x l 2 < x < 5 } 입니다
만약 공역이 {y l -2 < y < 3}이었다면 이 그래프는 일대일대응이 되지만
그렇지 않고 공역이 {y l -4 < y < 5}와 같이 치역보다 크게 설정된다면 일대일 대응이 될수 없습니다
지금부터는 정의역과 공역이 주어진 상황에서 그래프가 어떻게 그려지는지에 따라서 일대일대응과 일대일함수가 되는지 알아보도록 하겠습니다
정의역 X는 {x l 1 < x < 5}
공역 Y는 {y l 1 < y < 7 }
로 각각 정의 되어 있습니다
아직 그래프가 그려져 있지 않으므로 치역의 범위는 알수가 없는 상황입니다
치역은 그래프가 그려진 세로구간을 의미하기 때문입니다
그림2와 같이 파란색 그래프가 그려진 상황이라면
이제 그래프가 그려진 세로구간을 구할 수 있습니다
치역Y는 {y l 2 < y < 6}으로 구할수 있습니다
애초에 공역 Y는 {y l 1 < y < 7 }으로 정의 되어 있었기 때문에
공역과 치역이 일치하지 않으므로 일대일대응이 될 수 없습니다
이런 상황에서 직선그래프를 ‘일대일대응’이 되로록 그린다면 어떻게 해야 할까요
정답은 그림3에 그려져 있습니다
그래프가 일대일대응이 되도록 하기 위해서는 연두색 사각형의 대각선 양끝점을 연결한 직선그래프가 그려져야 합니다
물론 이와 같은 빨간색 직선이 그려져도 됩니다
요약하면
정의역과 공역의 구간이 정해진 상황에서 직선그래프를 그리고 그것이 일대일 대응이 되기 위해서는
두 대각선 모양으로 그려져야만 합니다
그림3의 대각선은 기울기가 양수이고
그림4의 대각선은 기울기가 음수 입니다
4)일대일대응인 함수의 갯수
- 만들수 있는 일대일대응의 경우의수
집합 X의 원소의 개수가 r, 집합 Y의 원소의 개수가 n일 때, X에서 Y로의 함수 f에 대하여
일대일대응은 n=r 이므로
일대일대응의 갯수 = n(n-1)(n-2)(n-3) ... 3x2x1
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